Bingo Ignition Blog

Todos quisiéramos ganar en el azar del bingo. Al principio suponemos que la probabilidad es mayor si jugamos con 2 o más tablas, y aún mayor si jugamos con más frecuencia, ¿de acuerdo? Echemos un vistazo y preparémonos para disfrutar de un juego placentero y divertido! ;·)

¿Qué probabilidad tenemos de ganar un juego a tabla llena?

Observemos, una tabla de bingo tiene 24 números generados al azar y distribuídos en 5 columnas en donde a cada una le corresponden 5 números diferentes -4 para la columna del centro- tomados de 5 intervalos cada uno de 15 números consecutivos. El primer intervalo empieza en 1 y el último intervalo termina en 75. A la primera columna, la B, corresponden entonces 5 números aleatorios sin repetición entre el 1 y el 15 incluídos estos. Es común que los números en la columna estén desorganizados como resultado del proceso de generación aleatoria.

Ocupémonos de la columna B en la cual hay 5 números aleatorios sin repetición seleccionados de un total de 15 números. Tenemos la intención de cubrir todos los números en la columna y para esto primero ponemos las 15 balotas correspondientes en una balotera.

Veamos, si U es el conjunto universal del cual tomamos la muestra, es decir el conjunto de los 15 números del 1 al 15, y B es el conjunto de muestra conformado por 5 números aleatorios sin repetición tomados de U, la representación de estos conjuntos es la siguiente:

U  =  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} B  =  {5, 11, 8, 2, 13} (ejemplo)

Resolvamos ahora algunas cuestiones:

1) ¿Cuántas combinaciones diferentes podríamos obtener para la columna B?

R./

Calculamos la combinación C(n, r) = n! / (r! · (n - r)!), donde n es el tamaño del conjunto U, y r es el tamaño de la muestra -conjunto B-. C(15, 5) = 15! / (5! · (15 - 5)!) = 3003 ¡Así que existen 3003 posibles combinaciones de 5 números tomados sin repetición de un conjunto de 15 números!

2) Si sacamos 5 balotas de la balotera ¿cuál es la probabilidad de que correspondan a una combinación en la columna B?

R./

P = 1 / 3003 ~ 0.000333 ~ 0.03% Corresponde este cálculo a la definición de probabilidad clásica P(A) = f/N, donde P(A) es la probabilidad del evento A, f es el número de casos que satisfacen ciertas condiciones, y N es el número total de casos posibles. En este caso la condición que debe cumplirse es que las primeras 5 balotas extraídas de la balotera coincidan con los números en la columna B de una tabla que será única dado que los números fueron escogidos aleatoriamente sin repetición, así que f = 1 y N = 3003, el número total de combinaciones obtenidas en el cálculo anterior. Una probabilidad de cero punto cero tres por ciento! :o :o :o

3) Y si sacamos más de 5 balotas de la balotera ¿cuál es la probabilidad de que 5 de las balotas extraídas correspondan a una combinación en la columna B?

R./

A más balotas extraídas de la balotera mayor es la probabilidad de ganar. Al sacar 6 o más balotas obtendremos a partir de éstas un número de combinaciones de 5 balotas que van a incrementar la probabilidad, así que este número es un factor de la probabilidad mínima considerada en la respuesta anterior. Dicho de otra forma se aplica la misma definición de probabilidad clásica con f tomando valores diferentes según el número de balotas extraídas. Si extraemos 6 balotas tendremos una probabilidad P = C(6, 5) / C(15, 5), y así incrementando el número de balotas extraídas se obtiene este resultado: Balotas Probabilidad ------- -------------------------------- 5 1 / 3003 ~ 0.000333 ~  0.03% 6 6 / 3003 ~ 0.001998 ~  0.20% 7 21 / 3003 ~ 0.006993 ~  0.70% 8 56 / 3003 ~ 0.018648 ~  1.86% 9 126 / 3003 ~ 0.041958 ~  4.20% 10 252 / 3003 ~ 0.083916 ~  8.39% 11 462 / 3003 ~ 0.153846 ~ 15.38% 12 792 / 3003 ~ 0.263736 ~ 26.37% 13 1287 / 3003 ~ 0.428571 ~ 42.86% 14 2002 / 3003 ~ 0.666667 ~ 66.67% 15 3003 / 3003 = 1.000000 = 100.0% La probabilidad obtenida es la que tiene cada tabla de ser la ganadora, suponiendo que estamos jugando sólo la columna B. Sin embargo hay más aquí al hacer ciertas consideraciones. Si el administrador del juego decide sacar por ejemplo 14 balotas, suponiendo nuevamente que jugamos sólo la columna B y que están en juego las tablas con las 3003 combinaciones posibles para la columna B, al sacar la balota 14 habrán ganado 2002 jugadores. Tendríamos que dividir el premio entre 2002 ganadores! :/ Pero no no no, esto no es así. Sin reparo en el número de tablas vendidas, conforme van saliendo las balotas de la tómbola los jugadores van cubriendo los números correspondientes hasta que mucho antes de llegar a la balota 14 sin duda ya uno o varios jugadores habrán cantado B!, B de Bingo!

Otras preguntas surgen a partir de este punto. Por ejemplo, si se venden 100 tablas -o cartones- ¿la probabilidad de ganar es la misma? Si juego con una tabla de un total de 100 vendidas y el administrador garantiza que haya al menos un ganador ¿la probabilidad de ganar es del 1%? Y ¿qué pasa con la probabilidad calculada previamente? ¿Cómo son las probabilidades para un juego a tabla llena? Y ¿cómo es la probabilidad para otros patrones de juego? ¿Según el patrón de juego en qué balota se debería detener el operador antes de que pueda haber muchos ganadores a la vez? ¿Cuántas tablas diferentes entre sí se pueden generar? ¿Existen algunas pautas que los jugadores deban considerar?

Seguiremos escribiendo en este blog para intentar responder a estos y otros cuestionamientos ;·)